Kapitel
„In der Mathematik ist „offensichtlich“ das gefährlichste Wort.“
– Eric Temple Bell (1883-1960), schottischer Mathematiker
Der berühmte schottische Mathematiker und Verfasser der Zahlentheorie fasste mit diesem Zitat die komplexe Welt der Mathematik zusammen: Eine Disziplin kann nur dann wissenschaftlich sein, wenn ihre Hypothesen widerlegbar sind, wenn man sie in Frage stellen kann.
Die Mathematik - besonders die arithmetische und algebraische Berechnung - hat auch den Zweck, eine unendliche Anzahl von komplexen Zahlen und unbekannten Größen zugänglich zu machen.
Dadurch kann man den Wert mehrerer unbekannter Variablen berechnen und Gleichungen lösen, eine Funktion aufzustellen - lineare Funktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion - und deren Ableitung bilden.
Die Mathematik wie wir sie heute kennen, ist seit dem antiken Griechenland bekannt, besonders seit Archimedes, Euclid, Pythagoras oder Thales.
Nach mehr als 1500 Jahren wissenschaftlicher Entwicklung, in der Zeit, in der sich die Astronomie in der Renaissance (16. bis 17. Jahrhundert) in Europa entwickelte, wurden die Berechnungen zu komplex, um fehlerfrei durchgeführt zu werden.
Daher erfanden Mathematiker Theoreme und Strategien, um die Berechnungen zu vereinfachen: wir verdanken John Napier (1550-1617) die Entwicklung des Logarithmus - bekannt als Rechenhilfsmittel dargestellt in einer Logarithmentafel -, einem Werkzeug, mit dem man Produkte in Summen umwandeln konnte.
Diese Entdeckungen ermöglichten die Berechnung der Fläche unter der Hyperbel, die Untersuchung einer logarithmischen Funktion oder einer Exponentialfunktion.
Dieser Superprof-Artikel konzentriert sich auf die dekadische Logarithmusfunktion, die als y = log (x) bekannt ist: Was ist eine Logarithmusfunktion?
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Eine kurze Geschichte der Logarithmusfunktion
Logarithmen sind ein Eckpfeiler der Geschichte der Mathematik.
Sie erlangten mit dem Aufkommen von Logarithmentafeln zu Beginn des 17. Jahrhunderts Bekanntheit, die astronomische Berechnungen erleichtern sollten.
Die zunehmende Komplexität der Berechnungen veranlasste Astronomen, Segler und Mathematiker dazu, nach Möglichkeiten zu suchen, die die Berechnung von Produkten und Quotienten erleichtern, innerhalb der Algebra und der Geometrie.
Die mathematische Wissenschaft kannte bereits damals die Trigonometrie-Tabellen, mit denen man das Produkt aus zwei ganzen Zahlen A und B dank des Kosinus finden konnte.
Aber die Tatsache, dass man Winkel zur Berechnung brauchte, erwies sich als unpraktisch: Jost Bürgi und John Napier schufen einen einfacheren Weg, eine Tabelle mit der Darstellung der Mantissen von Logarithmen.
Zu einer Zeit, in der alle Berechnungen von Hand durchgeführt wurden, war es schwierig, die Produkte mit den Quotienten zu multiplizieren, deshalb war dieses Hilfsmittel so wichtig.
Die Berechnung der Fläche einer Hyperbel und der Tangente jedes Punktes einer Exponentialfunktion für jedes positive x war erschwinglich, indem man mit einer reellen Zahl arbeitete und die Sinus- und Cosinuswerte der trigonometrischen Tabellen entnahm.
Andererseits erforderte diese Art die Kenntnis aller Werte einer Funktion - einschließlich aller Dezimalzahlen - unendliche Berechnungen…
Es war Henry Briggs, der 1615 mit J. Napier die erste dezimale Logarithmentafel erstellte. Es folgten trigonometrische Tabellen und eine antilogarithmische Tabelle.
Diese numerischen Tabellen mit bis zu vierzehn Dezimalstellen - in der Briggs-Tabelle - sollten drei Jahrhunderte lang als grundlegendes Werkzeug zum Studium der logarithmischen Funktion dienen, bevor sie Ende des 20. Jahrhunderts durch die Erfindung des Taschenrechners abgelöst wurden.
In der Schule wird man mit dem Thema der Logarithmusfunktion erst in der 10. Klasse konfrontiert, vorher sollen die Schule die Grundlagen der Mathematik lernen, um sich dann mit diesem komplizierten Thema auseinandersetzen zu können.
Der negative dekadische Logarithmus ist nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik wichtig, wenn es beispielsweise um die Berechnung der Dezibel in der Akustik geht, oder in der Chemie für die Auswertung von PH-Tests oder um eine wässrige Lösung zu kontrollieren.
Um zu wissen, wie man einen Logarithmus auflöst oder berechnet, reicht es manchmal nicht aus, den Schulunterricht zu besuchen. Für eine intensive Betreuung wäre zum Beispiel Privatunterricht zu empfehlen.
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Wisst ihr schon, was eine euklidische Division ist?
Der dekadische Logarithmus, das Theorem und die algebraischen Eigenschaften
Um die über mehrere Größenordnungen, z.B. über ein Intervall von 1 bis 1000, variierenden Zahlen grafisch darzustellen, kann man nicht die übliche Skala mit proportionalen Abstufungen zu den Zahlen verwenden.
Wenn an einer stringenten Markierung 1 Millimeter den Wert 1 darstellt, dann stellt 1 Zentimeter den Wert 10 dar. Daher wäre ein Lineal von einem Meter Breite erforderlich, um den Wert 1000 darzustellen.
Umgekehrt wäre bei sehr kleinen Abmessungen ein zehn Kilometer langes Lineal erforderlich, um Werte von 10 hoch drei bis 10 hoch 10 mit dem gleichen Maßstab darzustellen!
Deshalb verwendet die Mathematik die logarithmische Skala, so dass ein Wert mit dem gleichen Faktor (z.B. 10 mal 10) multipliziert werden kann, indem man sich von einer Skala zur nächsten bewegt: Die Abstände auf der Achse sind proportional zu den Logarithmen der dargestellten Zahlen.
Die dezimale Logarithmusfunktion wird wie folgt aufgeschriebne: log(x) = ln(x)/ln(10). Die algebraischen Eigenschaften sind ähnlich denen des natürlichen Logarithmus, der als „ln“ bekannt ist.
Für alle x > 0 und für alle y ∈ R, log(x) = y <=> x = 10y oder log(10y) = y.
Die reelle Zahl x wird als Basislogarithmus 10 von a, Dezimallogarithmus von a mit log10a oder log (a) beschrieben.
Es wird auch angenommen, dass log von a der Exponent der Potenz von 10 ist, der a ergibt.
Somit ist für jede reelle Zahl x > 0 :
- log 1 = 0, weil 100 = 1
- log 10 = 1, weil 101 = 10
- log 0,1 = - 1, weil 10-1 = 0,1
- log (10x) = x
- log 1/a = - log a, da der Logarithmus der Inverse gleich dem Gegenwert des Logarithmus ist
- log a/b = log a - log b, da der Logarithmus eines Quotienten gleich der Differenz der Logarithmen ist
- log 2 —> 0.30103
- log 3 —> 0.447712
- log 4 —> 0.69897
Da 10x immer > 0 ist, existiert der Logarithmus einer negativen oder Nullzahl nicht: Eine Logarithmusfunktion ist daher per Definition immer streng steigend und positiv über ihr Intervall [ 0; ∞ ].
Eine weitere Eigenschaft des dekadischen Logarithmus ist, dass der Logarithmus eines Produkts immer gleich der Summe der Logarithmen ist. Wenn man log a und log b kennt, ist es möglich, log (ab) zu bestimmen:
- a = 10x1 <=> log a
- b = 10x2 <=> Protokoll b
- ab = 10x1+x2 <=> log (ab)
- Also, log (ab) = log a + log b
Diese algebraischen Eigenschaften sind zwar schon und gut, aber wie können wir herausfinden, ob der Logarithmus von 2 tatsächlich 0,30103 ist?
Wir zunächst einmal log 5:
- log 5 = log (10/2)
- = log 10 - log 2
- = 1 - log 2
- = 1 - 0,30103
- log 5 = 0,69897
Oder log 2 = log (10/5):
- = log 10 - log 5
- = 1 - 0,69897
- = 0,30103
Wenn man weiß, wie man einen einfachen Logarithmus berechnet, kommt in der Nachhilfe Mathematik oft die Frage auf, wie man log (20) oder log (400) bestimmt.
- log(20) = log (10 x 2) = log (10) + log (2) = 1 + log (2) = 1,30103
- log (400) = log (100 x 4) = log (100) + log (4) = 2 + log (4) = 2,60205
Es gibt viele Hilfsmittel in der Mathematik, die das Rechnen mit komplexen Zahlen vereinfachen, so wie die Multiplikationstabelle beim Kopfrechnen lernen hilft.
Grafische Darstellung einer dekadischen logarithmischen Funktion
Grafisch sieht man oft, dass die dekadische Logarithmusfunktion eine aufsteigende Form annimmt, dass die Kurve also bei R streng ansteigt.
Die grafische Darstellung einer Funktion wird verwendet, um ihre Vorzeichentabelle zu bestimmen, aber für log (x) kann das kompliziert sein.
Tatsächlich gibt es für jeden Wert von x zwischen 0 und +∞ einen Wert für log (x). Darüber hinaus kann man festhalten, dass die Funktion sehr wenig zunimmt, auch wenn x stark zunimmt.
Mit anderen Worten, wenn die Kurve eine vertikale Asymptote darstellt, mit der Gleichung x = 0 und limx→0ln(x)=-∞, dann steigt x stark, während y nur schwach steigt.
Aber wie kann man dann die grafische Darstellung von log (x) zeichnen?
Wie bei einer linearen Funktion sollte man eine Tabelle mit beliebig gewählten Bezugspunkten erstellen. Sei eine logarithmische log-Funktion (x), die auf [ 0 ; 100] definiert ist.
Dann muss man den Logarithmus mehrerer zufällig gewählter x-Werte berechnen, um die X-Achse und die Y-Achse zeichnen zu können.
Man weiß, dass log (1) = 0 und log (10) = 1, aber man weiß auch, dass log 5 = 0.69897.
Wie zeichnet man also eine Graphik der Funktion y = 2x + 5? Die log-Funktion (x) ist keine gerade Linie, sondern eine asymptotische Kurve, sie näher sich also dem Unendlichen immer weiter an.
Man braucht daher die folgenden Punkte:
- log (0,1) = -3
- log (1) = 0
- log (5) = 0,69
- log (10) = 1
- log (15) = 1.17
- log (20) = 1,30
- log (50) = 1,69
- log (75) = 1.875
- log (100) = 2
Mit diesen Berechnungen kann man die Koordinatenpunkte A (0;-3), B (1;0), C (5;0), etc. bis I (100;2) darstellen.
Die Funktion log (x) ist negativ für alle x < 1 und positiv für x > 1.
Wenn x auf 0 zugeht, dann geht log (x) auf -∞ zu und umgekehrt, wenn x zu +∞ tendiert, tendiert log (x) auch zu +∞.
Überraschungsfrage!
Was ist der Logarithmus von (0.89234545)? Was ist der Logarithmus von (1226,9258)?
Man rechnet:
- log (10 x 5)
- log (1/2)
Viele Schüler fragen sich sicherlich, wofür man die Berechnung des dekadischen Logarithmus benötigt, besonders diejenigen, die mit Mathematik nicht besonders viel am Hut haben.
Aber es ist ein großer Vorteil, diesen Zweig der Mathematik zu kennen, vor allem wenn man ein naturwissenschaftliches Studium der Physik, Chemie, Mathematik oder Biologie anstrebt.
Wenn ihr immer noch Schwierigkeiten mit dem Thema habt, dann kann euch ein privater Mathelehrer dabei helfen, die Logarithmusfunktion oder das komplexe Feld der Algebra genau zu verstehen.
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