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Das Prinzip der Mathematik besteht darin, systematisch zu demonstrieren, was als wahr angesehen wird. Wir stellen keine Behauptungen auf, wir beweisen!
Mathematik erfordert manchmal ein gewisses Maß an Abstraktion, immerhin wird mit vielen Zahlen gerechnet, die von den herkömmlichen Zahlen ein wenig herausstechen. Und mit diesen tun wir uns manchmal etwas schwer... Aber keine Sorge, Superprof erklärt Euch alle wichtigen besonderen Zahlen der Mathematik.
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In diesem Artikel stellen wir Euch die Pi-Zahl vor (Achtung, nicht zu verwechseln mit der goldenen Zahl Phi!).
Pi, dargestellt durch den griechischen Buchstaben π, ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Sie wird aber auch in der Physik und im Ingenieurwesen eingesetzt.
Pi bezeichnet man auch als Archimedes-Konstante. Die Zahl fasziniert seit ihrer Entdeckung in der Antike. Sie hat sogar ihren eigenen (inoffiziellen) Feiertag und wird jedes Jahr am 14. März am Pi-Day gefeiert.
Die Definition der Zahl Pi
Der Buchstabe π entstand aus dem griechischen Wort "περίμετρος", was "Durchmesser" bedeutet.
Die Zahl Pi definiert also das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Das ist wahrscheinlich die Definition, die jeder kennt.
Zumindest solltest Du Dir ein paar vage Erinnerungen (gute oder schlechte) ins Gedächtnis rufen können!
Alle Kreise sind ähnlich, und es reicht aus, die Ähnlichkeitsbeziehung zu kennen, um von einem Kreis auf einen anderen zu schliessen.
Diese Definition, die allgemein bekannt ist (oder zumindest sein sollte) und zur Berechnung des Umfangs und der Fläche eines Kreises verwendet wird, ist jedoch nicht die genaueste aller Definitionen. Es gibt drei weitere trigonometrische Funktionen, um π zu definieren.
Eine von ihnen nimmt an, dass π das Doppelte der kleinsten positiven Zahl x ist, so dass cos (x) = 0 (erfahre mehr über die Zahl Null) ist, wobei cos als der Realteil des komplexen Exponentials definiert ist.
Wie wird Pi dargestellt?
In der Schule lernen wir, eine Annäherung von Pi zu verwenden. Es ist ziemlich schwer vorstellbar, dass wir nicht alle Dezimalstellen einer Zahl kennen, so dass sie unendlich sein könnte.
Sicher weisst Du, dass Pi ungefähr gleich 3.1416 ist, manchmal wird die Zahl sogar auf 3.14 vereinfacht.
Tatsächlich haben Forscher und Mathematiker über 12 Billionen Dezimalstellen von Pi gefunden!
Auch wenn für die Schätzung des Umfangs eines Kreises im Alltag nicht mehr als ein Dutzend Dezimalstellen von Pi erforderlich sind...
Im Jahr 1881 zeigte Simon Newcomb, dass Pi mit 10 Dezimalstellen völlig ausreicht, um den Umfang der Erde zu berechnen, und mit 30 Dezimalstellen von Pi kann man den Umfang des sichtbaren Universums berechnen.
Wenn Du also auch nur die ersten 15 Dezimalstellen von Pi kennst, dann weisst Du bereits mehr als die meisten Deiner Freunde: 3.141.592.653.589.793.
Als Bruch wird die Zahl Pi so dargestellt: 355/113. Er ist leicht zu merken und wurde vor dem Erscheinen der Taste π auf den Taschenrechnern verwendet!
Pi bleibt nach wie vor ein Rätsel für Wissenschaftler und fasziniert Profis und Amateure, die mehr über diese Zahl lernen möchten.
Noch immer gibt es Forschungen zur Pi-Zahl!
Warum sagt man, dass Pi irrational ist?
Die Zahl Pi ist eine irrationale Zahl. Das bedeutet, dass es unmöglich ist, π = p / q zu schreiben, wobei p und q ganze Zahlen sind.
Auch wenn Mathematiker bereits seit dem neunten Jahrhundert davon überzeugt sind, wird die Tatsache, dass Pi nicht rational ist, erst im achtzehnten Jahrhundert von Johann-Heinrich Lambert bewiesen, indem er mittels einer Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion zeigte, daß tan x für alle rationalen x ≠ 0 irrational ist, und x = π durch 4 setzte.
Da andere Mathematiker diese Demonstration vereinfacht haben, wurde nur die Integralrechnung verwendet. Die bekannteste ist wahrscheinlich die von Ivan Niven.
Ist Pi algebraisch?
Abgesehen davon, das sie irrational ist, ist die Zahl Pi auch transzendent, das heißt, sie ist nicht algebraisch: Es gibt kein Polynom (mit rationalem Koeffizienten), dessen Wurzel Pi ist.
Darüber hinaus wurde gezeigt, dass Pi nicht konstruierbar ist. Man kann nicht nur mit einem Geodreieck und dem Kompass ein Quadrat konstruieren, dessen Fläche gleich der eines gegebenen Kreises wäre.
Wenn Du Mathe-Liebhaber bist, ist für Dich sicherlich jede Zahl perfekt, tatsächlich gibt es jedoch auch eine Zahl die sich wirklich so nennt! Also "perfekte Zahl" oder auch "vollkommene Zahl" genannt.
Wofür wird Pi verwendet?
Bei Pi geht es nicht nur darum, Schüler zu triezen, indem sie Formeln lernen müssen, um den Umfang und die Fläche eines Kreises zu berechnen.
Die Zahl Pi wird seit der Antike von Mathematikern verwendet, um zunächst einige geometrische Probleme zu lösen, dann in der Integralrechnung und schließlich im Computerzeitalter.
Die Rolle von π in der Geometrie
Geometrieformeln mit Pi beziehen sich auf Kreise und Kugeln.
Der Umfang eines Kreises kann mit Radius r und Durchmesser d berechnet werden.
Aber es gibt noch mehr Bereiche:
- Die Oberfläche einer Scheibe,
- Die Fläche einer Ellipse,
- Die Fläche einer Kugel,
- Die Seitenfläche eines Zylinders,
- Die Seitenflächen eines Kegels.
Und außerdem:
- Das Volumen einer Kugel,
- Das Volumen eines Zylinders,
- Das Volumen eines Kegels.
Ich persönlich verbinde keine besonders erfreulichen Erinnerungen mit der Zahl Pi... sie war für mich immer ziemlich obskur und ich hatte Probleme, mir die richtigen Formeln zu merken. Geometrie war wirklich nicht meine Stärke! Nachhilfe Mathe half mir jedoch dabei, meine Mathematik Hausaufgaben lösen zu können und akzeptable Noten in dem Mathe-Klassenarbeiten zu schreiben.
Hier zwei Textaufgaben zur Verwendung der Pi-Zahl:
- Ein Baumfäller misst den Umfang eines Baumstamms mit einem Metermass. Der Umfang beträgt 89 cm. Was ist der Durchmesser des Rumpfes auf den Zentimeter genau?
- Wie oft dreht sich ein Rad mit einem Durchmesser von 73,3 cm auf einer Streckenlänge von 1 Km ?
Die Zahl Pi in Wahrscheinlichkeiten und Statistiken
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik sind keine Ausnahme von der Regel: Pi ist überall!
Mathematiker haben π in Wahrscheinlichkeitsexperimenten verwendet. Wahrscheinlichkeiten können verwendet werden, um eine Annäherung von Pi zu erhalten. Dies ist insbesondere der Fall des Experiments mit der Bezeichnung Buffonsches Nadelproblem.
Andere Verwendungen der Zahl Pi
Die Zahl Pi wird in der Mathematik auch in Formeln verwendet für:
- Komplexe Zahlen,
- Rekursive Reihen,
- Logistische Folgen,
- Serien,
- Integralrechnungen ...
Wie auch immer, die Zahl Pi ist in der Mathematik allgegenwärtig und nicht nur in mathematischen Formeln, an die man sich nicht erinnern kann!
Pi ist auch in unserem täglichen Leben überall präsent:
- Eine Uhr arbeitet durch ein Zahnradsystem. Die Größe der Zähne wird durch den konstanten Abstand zwischen zwei Punkten definiert, der unter Verwendung der Zahl Pi berechnet wird.
- Eine elektrische Anlage wird meistens mit Wechselstrom betrieben. Die Verwendung von sinusförmigen periodischen Funktionen und Pi kommt auch hier zum Einsatz,
- Auch wenn wir mit dem Auto unterwegs sind, ist Pi nie weit: "Der Zähler hängt von der Anzahl der Radumdrehungen ab, die sich nach dem Umfang des Rades richtet, der von Pi abhängt", sagt Jean-Paul Delahaye, Mathematiker und Autor von "π — Die Story".
Und wir könnten die Liste noch weiter fortsetzen ...
Eine weitere interessante übrigens Zahl: die imaginäre Zahl i. Richtig gehört, i ist nicht nur ein Buchstabe, sondern auch eine Zahl. Genauso wie die eulersche Zahl e übrigens. Was genauer hinter diesen "Buchstaben Zahlen3 steckt, erfährst Du auch in unserem Blog.
Sollten wir uns die Zahl Pi merken?
Die Zahl Pi wird für viele Menschen obsessiv.
Daniel Tammet, autistischer Asperger, rezitierte 2004 22.514 Dezimalstellen.
Dieser Rekord wurde 2005 von Lu Chao gebrochen, der 67.890 Dezimalstellen auswendig lernte und rezitierte. Das Guinnessbuch der Rekorde verzeichnet zehn Jahre später einen neuen Rekord: Der Inder Rajveer Meena kann 70.000 Pi-Dezimalstellen rezitieren.
Ein Japaner hat angeblich 2005 100.000 Pi-Dezimalstellen rezitiert, aber die Leistung wurde nicht durch das Guinness-Buch bestätigt.
Ein ukrainischer Neurochirurg gab im Jahr 2009 an, 30 Millionen Dezimalstellen zu kennen, doch erneut wurde die Angabe nicht validiert. Es hat angeblich über ein Jahr gedauert, sich all diese Zahlen zu merken.
3,14 – soweit kommt man vielleicht noch. Aber dann wird es brenzlig.
Gott sei Dank gibt es Abhilfe in Form von Gedichten und Merksprüchen! Dabei bildet die Anzahl der Buchstaben der Wörter die Zahl. Im Deutschen gibt es für die ersten 24 Stellen diesen Vers:
„Wie, o dies π macht ernstlich so vielen viele Müh,
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,
wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!“
Auf diese Weise kommst Du immerhin auf π = 3,14159265358979323846264!
Das wird Deine Freunde schwer beeindrucken!
Die Lösungen für die Textaufgaben lauten übrigens folgendermaßen:
- Wir können den Durchmesser eines Kreises und seinen Radius bestimmen, wenn wir seinen Umfang haben. Wenn P = π x D, dann ist D = P / π. Der Durchmesser des Baumstammes beträgt folglich 28 Zentimeter.
- d=73,3cm. Für U gilt: U=Pi×d. 3,141592654 (Pi)×73,3=230,28cm. 1km=1000m=100000cm. Berechne die Strecke durch den Umfang: 100000:230,28=868,5. Das Rad dreht sich also 868,5 mal.
Bereit mehr über die Welt der besonderen Zahlen in der Mathematik zu erfahren? Von Primzahlen zum Besipiel hast Du aber sicher schon einmal etwas gehört, oder? Wenn Du Dir nun denkst "gehört schon aber was war das nochmals genau?," kein Problem, wir geben Dir eine kleine Auffrischung!
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