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Der Goldene Schnitt, auch "goldener Anteil" oder "göttlicher Anteil", bestimmt das Verhältnis der Teilung einer Strecke in zwei Teile.
Den Goldenen Schnitt erhält man, wenn sich der kleinere Teil zum größeren Teil so verhält, wie der größere Teil zur gesamten Länge der Strecke. Das ergibt die Formel a / b = ( a + b ) / a.
Wenn man dieses Verhältnis ausrechnet, erhält man eine irrationale Zahl, also eine Zahl, die nicht genau definiert werden kann, zum Beispiel die Wurzel der Zahl zwei.
Die Zahl des Goldenen Schnittes wird mit dem griechischen Buchstaben phi φ gekennzeichnet und beträgt ungefähr 1,6180339887. – Achtung, nicht zu verwechseln mit der Zahl Pi!
Die Mathematik wird oft als besonders schwierig empfunden, vor allem weil es so viele verschiedene besondere Zahlen und Formeln gibt, aber sie kann auch sehr spannend und faszinierend sein!
Lasst uns in diesem Artikel den Goldenen Schnitt genauer unter die Lupe nehmen!
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Die Geschichte des Goldenen Schnitts
Die Ursprünge des Goldenen Schnitts
Der goldene Schnitt hat eine lange Geschichte und wurde ursprünglich in der Geometrie verwendet, wahrscheinlich von den Pythagoräern. Sie bauten damit Pentagone aus gleichschenkligen Dreiecken.
Zu dieser Zeit wird er nicht in einer arithmetischen Weise verwendet, da die Pythagoräer denken, dass jede Zahl rational ist, der Goldene Schnitt aber nicht.
Der erste mathematische Text, der den Goldenen Schnitt erwähnt, wurde von Euklid (300 v. Chr.) geschrieben. Er lautet wie folgt: "Eine Strecke ab wird durch einen inneren Punkt t so geteilt, dass das Verhältnis der Länge des größeren Teilabschnitts at zur der Länge des kleineren Teilabschnitts tb dem Verhältnis der gesamten Streckenlänge s= a+b zur Länge des größeren Teilabschnitts entspricht."
Diese Teilung bestimmt den Goldener Schnitt der Strecke. Das Verhältnis a:b der Streckenabschnitte ab und tb wird Goldene Zahl genannt.
Platon war jedoch zweifellos der Erste, der den Goldenen Schnitt als eigenständigem Untersuchungsgegenstand erforschte.
Zu diesem Zeitpunkt bezeichnete man die Zahl noch nicht als "Goldene Zahl".
Die Goldene Zahl im Mittelalter
Der persische Mathematiker Al Khwarizmi wirft im achten Jahrhundert neues Licht auf den Goldenen Schnitt, indem er verschiedene Lösungen zur Aufteilung einer Länge von zehn Einheiten in zwei Teile vorschlägt.
Eine Lösung ist die Anfangsgröße geteilt durch den Goldenen Schnitt.
Leonardo Fibonacci, einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters, spricht über die Gleichungen des persischen Mathematikers in Europa, ohne einen Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt zu sehen.
Die Irrationalität des Goldenen Schnitts wird von Campanus von Novaya, einem italienischen Astrologen, Mathematiker, Astronomen und Arzt durch den unendlichen Abstieg demonstriert, der sich in der Goldenen Spirale widerspiegelt.
Die goldene Zahl in der Renaissance
In der Renaissance wird die Goldene Zahl als göttliches Verhältnis bezeichnet und gilt als göttliche Intervention gemäß dem Buch des italienischen Mathematikers Luca Parioli "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità", das von Leonardo da Vinci illustriert wird.
Zu dieser Zeit entsteht auch die Verbindung zwischen Fibonacci und dem Goldenen Schnitt. Durch Teilen eines Terms in der Sequenz durch den vorherigen Term, kommt das Ergebnis dem Goldenen Schnitt nahe. Die Annäherung ist umso besser, je höher der Term ist.
Diese Beziehung wird in einer anonymen Notiz beschrieben und das Ergebnis wird tatsächlich von dem deutschen Mathematiker Johannes Kepler bewiesen, der sein ganzes Leben lang von der Goldenen Zahl fasziniert sein wird. Sie ist für ihn das "Juwel der Geometrie".
Die Geburt eines Mythos im neunzehnten Jahrhundert
Die Zahl verliert ihre mathematische Bedeutung, gewinnt aber als System zunehmend an Interesse.
Der deutsche Philosoph Adolf Zeising glaubt, dass der Goldene Schnitt dazu beitragen kann, sowohl wissenschaftliche als auch künstlerische Konzepte zu begreifen.
Trotz eines zweifelhaften wissenschaftlichen Ansatzes, sind die Theorien von Zeisig sehr attraktiv. Dank des Goldenen Schnitts könne man Schönheit erklären.
Auch im 20. Jahrhundert fasziniert die Goldene Zahl noch Mathematiker, Künstler und Architekten.
Kleine Info am Rande: Wenn Du Mathe-Liebhaber bist, hat für Dich bestimmt jede Zahl was perfektes, da Du von Zahlen fasziniert bist. Es gibt jedoch tatsächlich eine Zahl, die sich wirklich so nennt! Also "perfekte Zahl" oder auch "vollkommene Zahl".
Die Goldene Zahl in der Geometrie
Die erste Definition des Goldenen Schnitts ist geometrisch.
Der Satz lautet wie folgt:
"Zwei Längen a und b (streng positiv) berücksichtigen den 'Goldenen Anteil', wenn das Verhältnis von a zu b gleich dem Verhältnis von a + b zu a ist."
Im Lichte der Arbeit von Euklid erscheint eine neue Definition der Goldenen Zahl:
"Die Goldene Zahl ist die positive reelle Zahl, die mit φ bezeichnet wird und dem Bruch a / b entspricht, wenn a und b zwei Zahlen im Verhältnis von extremem und durchschnittlichem Grund sind."
Hier ist die entsprechende Formel dazu: φ = (1 + √5) / 2.
φ ist die Lösung einer Gleichung zweiten Grades, die eine dritte Definition ergibt:
"Der Goldene Schnitt ist die einzige Lösung für die Gleichung x2 - x - 1 = 0."
Die besondere Zahl Null lohnt es sich übrigens auch, im Einzelnen zu betrachten!
Dank dieser Berechnungen ist es möglich, mithilfe eines Kompasses, eines Lineals und eines Geodreiecks eine Proportion mit mittlerem und extremem Verhältnis zu zeichnen:
- Zeichne einen Kreis C mit Radius 1,
- Zeichne am Ende des Radius 1 ein Segment der Länge 1/2 senkrecht zum Radius.
- Zeichne den Kreis C 'mit dem Radius 1/2, indem Du die Kompassspitze am Ende des zuvor gezeichneten Abschnitts mit der Länge 1/2 platzierst.
- Zeichne das Segment von der Mitte des Kreises C bis zum Ende des Kreises C 'durch die Mitte des Kreises C'.
- Die Länge dieses Segments ist der goldene Schnitt.
Anhand dieser Kreise ist es möglich, ein goldenes Rechteck zu zeichnen.
Wir können auch eine quadratische Seite a - b in das goldene Rechteck der Seiten b × (a - b) integrieren. Durch Hinzufügen eines Viertelkreises in jedes Quadrat erhalten wir eine Spirale, die als "Goldene Spirale" bezeichnet wird.
Der Goldene Schnitt kann auch für die Konstruktion von Pentagonen und Pentagrammen sowie für die Trigonometrie verwendet werden. Keine Sorge, solltest Du Probleme haben, die ganzen mathematischen Formeln und Rechnungen zu verstehen, kann Nachhilfe Mathe die Lösung sein. Deine ein Nachhilfelehrer in Mathematik kann Dir die mathematischen Vorgänge Schritt für Schritt erklären und mit Dir zusammen durchrechnen. Superprof findet deinen perfekten Lehrer in deiner Stadt (z.B. Mathe Nachhilfe Bochum).
Der Goldene Schnitt in der Arithmetik
Die andere Methode zur Definition des Goldenen Schnitts ist die algebraische.
In der Algebra ist der Goldene Schnitt die einzige positive Wurzel einer Gleichung.
Mit algebraischen und geometrischen Ansätzen ist es möglich, eine Gleichung zweiten Grades zu lösen. Das nennt man geometrische Algebra. Die Lösung von φ2 = 1 + φ ist der Goldene Schnitt.
Der goldene Schnitt kann auch durch Verwendung der kontinuierlichen Fraktion angenähert werden:
1 + (1 / (1 + (1/1))).
Die Fibonacci-Folge bietet ebenfalls eine Annäherung an den Goldenen Schnitt:
Umgekehrt drückt die Formel von Binet die Fibonacci-Folge nach dem goldenen Schnitt aus.
Der goldene Schnitt wird auch in einigen diophantinischen Gleichungen verwendet.
Zur Algebra gehört im Übrigen auch eine andere besondere Zahl, nämlich die imaginäre Zahl i. Ja, richtig gehört ZAHL und nicht Buchstabe. Wie die eulersche Zahl e, kann auch i eine Zahl sein.
Die Allgegenwart des goldenen Schnitts
Wie Du sicher gemerkt hast, ist der Goldene Schnitt in der Mathematik allgegenwärtig, aber auch überall um uns herum.
Auch in der Natur finden wir den Goldenen Schnitt:
- Die Schuppen eines Tannenzapfens erzeugen logarithmische Spiralen, die der Fibonacci-Folge entsprechen können.
- Die Staubblätter einer Sonnenblume erzeugen das gleiche Phänomen,
- Quarzkristalle präsentieren in einem fünfeckigen Muster den Goldenen Schnitt,
- Die Rinde einer Ananas bringt ebenfalls eine Fibonacci-Spirale hervor, die mit dem Goldenen Schnitt verwandt ist.
Manche Menschen wollen dahinter ein mystisches oder göttliches Phänomen erkennen - vielleicht ist es aber auch nur reiner Zufall ...
Die Frage, ob der menschliche Körper mit dem Goldenen Schnitt verbunden ist oder nicht, wurde wiederholt gestellt, sei es von wissenschaftlicher, künstlerischer oder ästhetischer Seite.
Zeising hatte versucht, den menschlichen Körper nur anhand des Goldenen Schnittes zu messen, aber dieser Versuch wurde bald aufgegeben. Die auf diese Weise gezeichneten Proportionen des menschlichen Körpers waren nicht realistisch.
Darüber hinaus ändern sich die Dimensionen des menschlichen Körpers ständig. Der Mensch wächst mit der Evolution und nicht unbedingt auf einheitliche Weise.
Die Suche nach dem Goldenen Schnitt beim Menschen wurde jedoch nicht aufgegeben. Heute untersuchen Wissenschaftler ob es in unserem Gehirn eventuell einen Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt geben könnte. Diese Theorie bleibt jedoch umstritten.
Der Goldene Schnitt fasziniert nicht nur die Wissenschaftler, sondern auch in vielen anderen Bereichen wie der Malerei, insbesondere in der Renaissance.
Wir finden ihn zum Beispiel im Gemälde "Die Geburt der Venus" von Botticelli, aber auch in der "Mona Lisa" von Leonardo da Vinci.
Aber manchmal sind es auch spätere Interpretationen und kein Wille des Künstlers - wie das Gemälde "Heiliger Hieronymus" von Leonardo da Vinci nahe legt.
Ebenso ist die Verwendung des Goldenen Schnitts in alten Bauten umstritten. Es ist schwer zu sagen, ob die Erbauer sich der Verwendung des Goldenen Schnitts bewusst waren oder ob es sich um eine Überinterpretation der Archäologen handelt.
Es gibt mehrere Beispiele:
- Das Theater von Epidaurus,
- Die große Pyramide von Gizeh
- Die Symmetrie der Fassade des Parthenon,
- Der Turm von Methoni,
- Der große Pergamon-Altar.
Der französische Architekt Le Corbusier entwickelte in den Jahren 1942 bis 1955 ein System namens Modulor, ein Proportionssystem, das den bedeutendsten modernen Versuch darstellt, der Architektur eine am Maß des Menschen orientierte mathematische Ordnung zu geben. Er verwendete sein System in vielen seiner Bauten wie der avantgardistischen Cité Radieuse in Marseille oder der Kapelle Notre Dame du Haut von Ronchamp.
Auch in der Musik stoßen wir auf den Goldenen Schnitt und zwar in zwei Formen:
Zum einen können zwei Töne bzw. ihre Frequenzen zueinander in der Proportion des Goldenen Schnittes stehen. Andererseits kann die Komposition eines Stückes aus Teilen bestehen, deren Längen sich zueinander verhalten wie der Goldene Schnitt.
Und wir könnten noch lange fortfahren, da der Goldene Schnitt viele Menschen fasziniert und Gegenstand vieler mehr oder weniger wissenschaftlicher Theorien ist! Und danach gibt es noch viele weitere interessante besondere Zahlen in der Mathematik, wie die Primzahlen zum Beispiel. Dazu aber mehr in extra Artikeln. Wir wollen ja nicht übertreiben. ?
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Tolle Zusammenfassung. Stimmt es, dass die Nachkommastellen des goldenen Schnittes keinerlei Regelmäßigkeit aufweisen und daher als Basis für Zufallszahlenwerte dienen?