Welche bedeutenden Kulturen und Reiche fallen dir ein, wenn du an das Altertum denkst? Oft hört man als Antwort auf diese Frage das Alte Griechenland, das Römische Reich oder Ägypten. Alle drei Kulturen haben bemerkenswerte Bauwerke und Aufzeichnungen über ihr Wissen hinterlassen, die bis heute bekannt sind. Aber wusstest du, dass es noch weitere Völker gab, die sich zu einer frühen Hochkultur entwickelt und damit einen großen Einfluss auf die weitere Menschheitsgeschichte hatten?
Eines dieser Völker waren die Sumerer, die nach heutigem Stand der Forschung die erste Zivilisation mit komplexen Strukturen waren. Die Sumerer lebten im südlichen Mesopotamien, der fruchtbaren Gegend zwischen den beiden Flüssen Euphrat und Tigris und herrschten in der Region, bis sie mit Beginn der frühbabylonischen Zeit um 2000 v.Chr. von den Akkadern abgelöst wurden. Auch im später für die Weltgeschichte bedeutenden antiken Babylonien waren viele Errungenschaften der Sumerer weiterhin von großer Bedeutung.
Mit dem Niedergang der Stadt Babylon einige hundert Jahre vor der Zeitenwende gingen die Kenntnisse und Erfindungen der Sumerer aber keineswegs verloren. Viele davon legten die Grundlage für Entwicklungen, von denen wir noch heute profitieren und ohne die eine moderne Gesellschaft nicht denkbar wäre. Dazu gehören unter anderem die Erfindung der Keilschrift sowie das mathematische Denken der Babylonier.
Entdecke hier mit uns die spannende Geschichte der Mathematik in Babylonien, lerne das sumerische Zahlensystem kennen und erfahre mehr über das mathematische Wissen der alten Zivilisation, das wir noch heute nutzen.
Die Geschichte der Mathematik im Alten Babylonien
Mesopotamien war im Altertum eine Region, die die Teile der heutigen Türkei, Syriens, Irans, Iraks und Kuwaits umfasste die sich entlang der Flüsse Tigris und Euphrat erstrecken. Vielleicht hast du im Zusammenhang mit dieser Region auch schon mal die Begriffe „Fruchtbarer Halbmond“ oder „Wiege der Zivilisation“ gehört. Beide Bezeichnungen hängen eng mit einander zusammen.
Da die Gegend zwischen den beiden großen Flüssen durch regelmäßige Überschwemmungen äußerst fruchtbar war, entschieden sich die Menschen, die bis dahin als Nomaden gelebt haben, um 10.000 v.Chr. sesshaft zu werden. Damit begann eine wichtige Entwicklung, die schließlich zur Entstehung der ersten Hochkultur führte.
Die Menschen begannen Landwirtschaft zu betreiben, sich nach und nach auf bestimmte Bereiche zu spezialisieren und sich in Gemeinschaften mit einer Aufgabenverteilung zu organisieren. Mit dem Wachstum der Bevölkerung, der Verbesserung der Produktions- und Transportmöglichkeiten (insbesondere durch die Erfindung des Rads um 3200 v.Chr.) wurden auch die Organisationsstrukturen komplexer.
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Um die Verwaltung der sich herausbildenden Städte zu bewältigen und den Handel zu vereinfachen, wurde eine bedeutende Erfindung eingeführt: das Schreiben auf Tontafeln. In der sogenannten Keilschrift wurden Zeichen in die Tafeln geritzt. Während zunächst Bildsymbole verwendet wurden, entwickelte sich die Keilschrift über einige hundert Jahre zu einer abstrakten Schrift, mit der ganze Sätze geschrieben werden konnten. Es wird davon ausgegangen, dass die Schrift in erster Linie für buchhalterische Zwecke erfunden wurde.
Bis heute wurden rund 400 Tontafeln mit mathematischen Inhalten gefunden, von denen die meisten auf die Zeit zwischen 1800 und 1600 v.Chr. datiert wurden. Sie geben uns Aufschluss über das sumerische Zahlensystem sowie die mathematischen Kenntnisse der Alten Babylonier. Dazu gehören Brüche, quadratische und kubische Gleichungen sowie der Satz des Pythagoras.
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Das Zahlensystem der Sumerer
Um das babylonische Zahlensystem zu verstehen, ist es hilfreich, sich unser heute verwendetes System in Erinnerung zu rufen und sich die Unterschiede und Gemeinsamkeiten klar zu machen. Wir benutzen heute ein Stellenwertsystem auf der Basis 10. Das heißt, dass bei mehrstelligen Zahlen die Position der Ziffern Aufschluss über ihren Wert gibt, indem man ihn mit einer Zehnerpotenz multipliziert.
| 10⁵ | 10⁴ | 10³ | 10² | 10¹ | 10⁰ |
|---|---|---|---|---|---|
| 100.000 | 10.000 | 1000 | 100 | 10 | 1 |
Beispiel: Der Wert der Zahl 365 ergibt sich aus der Rechnung 3 x 100 + 6 x 10 + 5 x 1.
In Ansätzen wurde diese Idee der positionsbezogenen Werte schon von den Sumerern verwendet; jedoch mit zwei grundlegenden Unterschieden zu dem uns bekannten System. Erstens gab es keine Ziffern von 0 bis 9, sondern lediglich zwei Grundzeichen mit den Werten 1 und 10, mit denen alle Zahlen von 1 bis 59 dargestellt werden können.
Um den Wert 3 zu notieren, schreibt man also drei Einerzeichen dicht hintereinander und die Zahl 35 wird mit drei Zehner- und fünf Einerzeichen geschrieben. Für eine bessere Übersichtlichkeit wurden die Zeichen in einer ganz bestimmten Anordnung gruppiert. Die Babylonier hatten kein Zeichen für den Wert null, da sie ihn als „Nichtvorhandensein einer Zahl“ interpretierten und auch nicht damit rechnen konnten. Musste das Fehlen eines Wertes optisch dargestellt werden, wurde dafür oft ein Doppelpfeil als Platzhalter genutzt.
Um die Zahlen ab 60 darstellen zu können, müssen mehrere dieser Ziffern miteinander kombiniert werden. Dies machten die Babylonier ganz ähnlich wie wir, indem sie sie hintereinanderschrieben und jeder Ziffer je nach Position eine andere Potenz zuordneten. Um Missverständnisse zu vermeiden, wurden die einzelnen Symbole oder Symbolgruppen durch ein Leerzeichen voneinander abgegrenzt.
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Der entscheidende Unterschied zu unserem System liegt darin, dass es sich nicht um ein Dezimalsystem, sondern um ein Sexagesimalsystem handelt. Das heißt, dass mit der Basis 60 gerechnet wird. Die zweite Ziffer von rechts wird also nicht mit 10, sondern mit 60 multipliziert.
| 60³ | 60² | 60¹ | 60⁰ |
|---|---|---|---|
| 216.000 | 3600 | 60 | 1 |
Das sieht vielleicht erstmal sehr fremd aus, aber du kennst diese Art des Rechnens bereits aus deinem Alltag. Bis heute verwenden wir ein Sexagesimalsystem, um die Zeit anzugeben: sechzig Sekunden sind eine Minute und sechzig Minuten sind eine Stunde. Wenn du beispielsweise 5 Stunden, 35 Minuten und 20 Sekunden in Sekunden umrechnen willst, gehst du genau gleich vor wie die Sumerer: 5x3600 + 35x60 + 5. Auch in der Winkelberechnung verwenden wir bis heute die Basis 60. Es waren die beiden griechischen Astronomen und Mathematiker Hipparchos und Ptotemaios, die das System nach Europa gebracht haben.
Aber wie sind denn die Sumerer ausgerechnet auf die Basis 60 gekommen? Dafür gibt es zwei Erklärungsansätze. Zum einen hat die Wahl wohl einen praktischen Grund: Die Basis 60 eignet sich hervorragend zum Dividieren, da sie sehr viele Teiler hat. So konnten viele gängige Rechenoperationen deutlich einfacher ausgeführt werden, als es beispielsweise in einem Dezimalsystem der Fall ist.
Zum anderen könnte der Ursprung des Systems in der alten sumerischen Zählweise begründet sein. Genau wie andere frühe Kulturen haben auch die Sumerer beim Rechnen ihre Hände zu Hilfe genommen. Während an anderen Orten aber lediglich die zehn Finger verwendet wurden (was schlussendlich zu Dezimalsystem geführt hat), gibt es auch eine alte Methode, bei der die einzelnen Fingerglieder gezählt werden.
Das Rechnen mit Fingergliedern funktioniert folgendermaßen: Hebe eine Hand an und nutze den Daumen, um die einzelnen Fingerglieder derselben Hand anzutippen und abzuzählen. In der Regel wurde beim obersten Glied des kleinen Fingers angefangen und beim untersten Glied des Zeigefingers geendet. So kann man mit nur einer Hand bis zwölf zählen.
Ein Durchgang wird nun durch das Herausstrecken eines Fingers der anderen Hand markiert; dann fängt man wieder von vorne an. Insgesamt sind also fünf Durchgänge möglich. Bist du jetzt schon daraufgekommen, was dies mit der Zahl 60 zu tun hat? Genau, mit dieser Methode kann man recht einfach von 1 bis 60 zählen ohne die Übersicht zu verlieren.
Übrigens: Auch dieses Rechnen in Zwölferschritten kennst du dank des Begriffs „ein Dutzend“ aus der deutschen Sprache.
Möchtest du ein Rechensystem mit der Basis 20 kennenlernen? Dann solltest du dich mit dem Zahlensystem der Maya beschäftigen.
Mathematische Kenntnisse im Alten Babylon
Im Alten Babylonien gab es nicht nur ein ausgeklügeltes Zahlensystem, dass es erlaubte alle Grundrechenarten auszuführen. Auch so einige Grundlagen für kompliziertere mathematische Operationen waren bekannt. So hatten die Babylonier bereits recht weitreichende Kenntnisse in der Algebra und der Geometrie. Auf den gefundenen Aufzeichnungen finden sich Aufgabensammlungen und Rechenanleitungen; jedoch keine Beweisführungen. Die Idee des mathematischen Beweises entstand erst im antiken Griechenland.
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Babylonische Quadrattabelle
Im Jahr 2000 v.Chr. war man noch knapp viertausend Jahre von der Erfindung des Taschenrechners entfernt. Aber schon damals machten sich die Menschen Gedanken darüber, wie man sich das Rechnen erleichtern kann, um auch in Alltagssituationen schnell zum richtigen Ergebnis zu kommen. Die optimalen Hilfsmittel waren Tabellen, die in Tontafeln eingeritzt wurden.
Unter den 400 babylonischen Tafeln befinden sich viele, die solche Tabellen enthalten. Dabei handelt es sich hauptsächlich um übersichtliche Listen von Quadrat- und Kubikzahlen. So konnten die gesuchten Ergebnisse ganz einfach der Tabelle entnommen und in die zu lösende Gleichung eingefügt werden.
Faszinierende Multiplikationstabellen gab es auch im Alten China.
Pythagoreische Dreiergruppen
Denkst du, dass der Satz des Pythagoras so heißt, weil er von dem griechischen Mathematiker gleichen Namens entdeckt wurde? Das ist ein geläufiger Irrtum. Pythagoras war, laut Euklid, lediglich der Erste, dem es gelang die Gesetzmäßigkeit zu beweisen. Heutzutage wissen wir, dass die Aussage des Satzes bereits lange vorher in verschiedenen Kulturen bekannt war und zur Lösung praktischer Probleme angewandt wurde.
Das pythagoreische Tripel war auch im Alten Ägypten bereits bekannt.
Gleich mehrere Tontafeln belegen, die Kenntnisse über Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und die Verwendung dieses Wissens für Landvermessungen und die Gebäudekonstruktion. Umstritten hingegen ist die Interpretation der „Plimpton 322“ genannten Tafel. Dieses Artefakt zeigt eine Tabelle mit vier Zeilen und 15 Spalten. Bereits seit 1945 ist bekannt, dass es sich bei den eingeritzten Zahlen um pythagoreische Tripel handelt; also Dreiergruppen aus natürlichen Zahlen, bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren gleich dem Quadrat der größten Zahl ist.
Eine Studie zu der Tafel aus dem Jahr 2017 besagt, dass es sich dabei um eine numerisch exakte trigonometrische Tabelle handelt. Diese Aussage wurde aber in der Wissenschaft kontrovers diskutiert, da ein Teil der Tafel abgebrochen und bis heute verschollen ist.
Bestätigt wurde jedoch die Annahme, dass die Babylonier den Satz des Pythagoras zum Vermessen von Feldern genutzt haben. Im Jahr 2018 konnte endlich die Tafel mit der Bezeichnung „Si.427“ entschlüsselt werden, die ein eindrückliches Dokument für die altbabylonische Zivilisation und ihre Bürokratie ist. Die Aufzeichnungen auf der Scherbe zeigen die Vermessung eines Grundstücks und legen die Grenzen genau fest.
Die Notwendigkeit solcher Berechnungen wurde durch die neue Sesshaftigkeit der Menschen zum ersten Mal hervorgerufen. Dank der Mathematik, haben die Babylonier schnell eine Lösung gefunden.
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